Ezek a feladatok a www.matek.ide.sk weboldalról voltak letöltve, ahol még további
érdekes versenyfeladatok és ingyen letölthető matematikai oktatóprogramok találhatók.





Matematikai Olimpia,  8. évf.,  1983/84,  I. ford. feladatai


  1. Találjátok meg az összes ötjegyű 84-gyel osztható számot, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: az első három számjegy olyan számot alkot, amely háromszor nagyobb, mint a maradék két számjegyből álló szám. A számjegyek sorrendje azonos az ötjegyű szám számjegyeinek sorrendjével.

  2. Mely  p  törzsszámra érvényes, hogy a  2p+1  valamely természetes szám harmadik hatványa?

  3. A villamosvonal végállomásai közti menetidő 45 perc. A villamosok mindkét végállomáson 5 percet várnak. A villamosvonalon 5 szerelvény hozzáadásával a villamosok közti időköz egy perccel csökkent. Hány szerelvény és milyen időközökben közlekedik most a vonalon? (A percekben számolt időköz hossza természetes szám.)

  4. Adott az ABC egyenlő szárú háromszög, |AC| = |BC|. A CB oldal B pont mögötti meghosszabításán válasszátok meg a D pontot úgy, hogy |BD| = |AB|. A BAC és BAD szögek tengelyeinek metszéspontjait a CD szakasszal jelöljétek E-vel és F-fel. Mekkora az EAF szög, ha CAB= a ?

  5. Adott a KLMN 6 cm oldalú négyzet. Szerkesszétek meg azt az ABC háromszöget, amely rendelkezik a következő négy tulajdonsággal:
      (1)  az A csúcs a KL egyenesen fekszik,
      (2)  a C csúcs a KN egyenesen fekszik,
      (3)  az M pont távolsága az A és C pontoktól 7 cm,
      (4)  |AB| : |BC| : |CA| = 1,5 : 2 : 1.
    Hány megoldása van a feladatnak?

  6. Adott az ABV egyenlő oldalú háromszög, |AB| = 8 cm. Szerkesszétek meg azt az ABCD téglalapot, amelynek CD oldala áthalad az AV szakasz K középpontján. Továbbá szerkesszétek meg a CD határegyenesű és A belső pontú félsíkban a CDU egyenlő oldalú háromszöget. Számítsátok ki az ABCD téglalap azon részeinek teljes területét, amelyek az ABV és CDU háromszögön kívül esnek.

   


Matematikai Olimpia,  8. évf.,  1999/00,  I. ford. feladatai


  1. A királyi hajó 100 ládában igazgyöngyöt szállított, mindegyikben ugyanannyit. Az első kikötőben a kalózok az 1. ládából kivettek bizonyos számú igazgyöngyöt. Senki semmit sem vett észre, ezért a második kikötőben a 2. ládából kétszer annyi igazgyöngyöt vettek ki, mint az elsőből. Most sem vett észre senki semmit. A harmadik kikötőben a 3. ládából már háromszor annyi igazgyöngyöt vettek ki, mint az elsőből. És ez így folytatódott. Miután a kalózok a századik ládából is kivették a megfelelő számú igazgyöngyöt, abban csupán egyetlen igazgyöngy maradt. Mire a hajó célba ért, már csak 24850 igazgyöngyöt szállított. Itt végül minden kiderült, a kalózokat elfogták. Ám a büntetés nagyságának megállapításához és a kár visszatérítéséhez szükséges volt tudni, hogy eredetileg hány igazgyöngy volt a ládákban. Mennyi?

  2. Adott egy ABCD négyzet és egy P pont úgy, hogy a D az AP szakasz felezőpontja. A P ponton haladjon át egy p egyenes. Hogyan kell megválasztani a p egyenes helyzetét, hogy az a négyzet területét 5:3 arányban ossza? Rajzold meg a p egyenest!

  3. Gondoltam egy számot. Számjegyeinek minden lehetséges módon való felcserélésével további 5 számot tudok képezni. Ha az utóbbi 5 számot hozzáadom az eredeti számhoz, akkor 4218-at kapok. Barátnőm, Mónika, az eredeti számnál 5-tel nagyobb számra gondolt. Ha ehhez ő hozzáadja a számjegyek felcserélésével kapott újabb öt számot, akkor 5328-at kap. Milyen számra gondoltam én, és milyenre Mónika?

  4. Adottak az ábra szerinti J, K, L, M, N pontok. Szerkessz AB alapú egyenlő szárú ABC háromszöget, ha a J, K, L, M, N pontok rendre az AC, vc, va, vb, tc egyeneseken fekszenek. (Megj.: A va, vb, vc magasságot, a tc súlyvonalat jelöl.)

  5. Határozd meg azokat a 7-tel osztható négyjegyű számokat, melyekre igaz:
      ˇ  első két számjegyük összege 10,
      ˇ  két középső számjegyük összege 10,
      ˇ  utolsó két számjegyük összege 9.

  6. Egy 17 oldalú gúla minden lapjára egy-egy számot írtunk. Az összes számot összeadva 96-ot kapunk. A csúcsokhoz a hozzá tartozó lapokon szereplő számok összegét írtuk, és megállapítottuk, hogy mindegyik csúcshoz ugyanazt a számot kellett írni. Mely számokat írtuk az egyes lapokra?

  


Matematikai Olimpia,  8. évf.,  1999/00,  II. ford. feladatai


  1. Két kétjegyű szám szorzata 2176. Ha mindkét számban felcseréljük a számjegyek sorrendjét a szorzat 1978. Milyen számokat szoroztunk?

  2. Az ABC háromszögben az AC oldal hosszabb, mint a BC oldal. A CS súlyvonal és a CP magasságvonal az ACB szöget három egybevágó szögre osztják. Az SZ szakasz az ASC háromszög magasságvonala. Számítsátok ki az ABC háromszög területét, ha tudjátok, hogy az ASZ háromszög területe 9 négyzetcentiméter. (a S, P, Z pontok az ABC háromszög oldalain fekszenek.)

  3. A mozgólépcsőn 12 másodpercig tart az út fel. Misi a szomszéd nem mozgó lépcsőkön 6 másodperc alatt szalad fel. Hány másodperc alatt érne fel Misi, ha ugyanolyan gyorsan futna a mozgólépcsőn?

  


Matematikai Olimpia,  8. évf.,  2000/01,  I. ford. feladatai


  1. Béla az ábrán látható additív háromszög első sorába 5 olyan különböző törzsszámot írt, amelyek összege 50. Milyen legnagyobb szám kerülhetett a "legalsó" téglalapba?

  2. Az A, B, C és D pontok három külömböző, 9, 10 és 13 cm2 területű négyszöget határoznak meg. Mekkora a négyszögek úniójának területe? Szerkesszetek egy ilyen pontnégyest.

  3. Egy matematika iránt érdeklődő bolha a tankönyvben bolyongva egy számegyenesre talált. Eleinte csak sétálgatott rajta, később azonban ugrálni kezdett. De nem akárhogyan: az átugrott szám mindig ugrásának középpontjában állt. Leelőször a -78-at ugrotta át, majd az érkezés helyéből a -29-et ugrotta át, s innen elrugaszkodva a 36-ot ugrotta át. Nagy meglepetéssel tapasztalta, hogy most éppen abba a számba érkezett, ahonnan a legelején kiindult. Melyik volt ez a szám?

  4. Az egyik könyvben Marcsi érdekes számsorozatra bukkant. Észrevette, hogy a sorozat három egymást követő tagjának összege mindig 20 vagy 22. Ezek az összegek szabályosan váltakozva követték egymást: 20, 20, 22, 22, 20, 20, 22, ...  A sorozat első tagja 9, a kilencedik tagja pedig 7. Mennyi a sorozat első 100 tagjának összege?

  5. Egy bolha 1 cm oldalhosszúságú négyzetháló csúcsaiban ugrál. Úgy döntött, hogy csak rácspontból rácspontba ugrik. Mivel szerencseszáma a 13, ezért csak olyan rácspontba ugrik, amely tőle 13 cm-re van. Eljuthat-e így a négyzetháló tetszőleges rácspontjába?

  6. Tibornak két egynél nagyobb tizedesstörtet kellett összeadnia. Ám ő az egyik tizedesvesszőt sem vette észre, ezért egész számokként adta össze őket. Így 649-et kapott eredményül. A helyes eredménynek azonban 32,1*-nak kellett volna lennie, a századok helyén levő számjegyet elfelejtettük. Mely tizedestörteket kellett Tibornak összeadnia?

      


Matematikai Olimpia,  8. évf.,  2000/01,  II. ford. feladatai


  1. Az ábrán látható piramis természetes számokkal megszámozott kockákból áll. Az alsó szinten semelyik két kockának nincs ugyanolyan számja. A többi szinten levő kockák száma egyenlő az alatta levő 4 kocka számjainak összegével. Határozzátok meg, milyen legkisebb számja lehet a legfelső kockának, ha tudjátok, hogy a középső szinten levő kockák mindegyikének ugyanaz a számja van.

  2. Van 4 egybevágó háromszögünk. Ezekből ki tudunk rakni (átfedés nélkül) nem csak olyan téglalapot, melynek kerülete 22 cm, vagy olyan téglapot amelynek kerülete 29 cm, hanem rombuszt is. Mennyi lesz a kerülete ennek a rombusznak? (Mindegyik kirakásnál fel kell használnunk mind a 4 háromszöget.)

  3. A magánvállalkozó elbocsájtotta az alkalmazottjainak egy negyedét. Az ő munkájukat szétosztotta azok között, akik alkalmazásban maradtak, és ezek minegyikének megemelte a fizetését 25%-kal. Még így is megspórolt a béreken 13000 Sk-t. Határozzátok meg, hány alkalmazottat hagyott meg a cégnél, ha tudjátok, hogy mindegyik alkalmazott ugyanannyit keres (ugyanannyit keresett), és ez nem kevesebb mint 6000 és nem több mint 10000 korona.

   


Matematikai Olimpia,  8. évf.,  2001/02,  I. ford. feladatai


  1. Misi gondolt egy háromjegyű számra. Gyurinak elárulta, hogy a gondolt szám számjegyeinek összege 8. Péternek csak a gondolt szám számjegyeinek szorzatát árulta el. Péter ebből helyesen meghatározta, hogy ilyen számból összesen 6 darab van és ezt elmondta Gyurinak. Ő kijelentette: "Már tudom, hogy milyen számjegyei vannak a számnak, de a szám meghatározásához ez még nem elég." Ezek után Misi mindkét fiúnak ezt mondta: "A második hatványa az utolsó számjegynek nem osztója a gondolt számnak." Ez már a fiúknak elég volt a szám meghatározásához. Milyen számra gondolt Misi?

  2. Pontban 2000.12.31.-ről 2001.1.1.-re eső éjfélkor akartak "Úszóváros"-ban ünnepélyesen megnyitni egy új, 160 cm mély téglatest alakú medencét. A vizet elkezdték engedni bele már 2000.12.30.-án. Az ábrán látható grafikon mutatja, hogyan növekedett a medencében a víz szintje az időtől függően.
    a) Sikerült nekik időben teleengedni a medencét egészen a felső széléig?
    b) Pontosan mikor kezdték el engedni a vizet a medencébe?

  3. Az öreg farmer úgy döntött, hogy az összes vagyonát - egy csorda bárányt - szétosztja a gyerekei között. Először a csordát két részre osztotta 1:3 arányban. A kisebb részt odaadta elsőszülött fiának, a nagyobb részt ismét szétosztotta 1:3 arányban. Az új részekből a kisebbet odaadta másodszülött fiának, a nagyobb részt ismét szétosztotta 1:3 arányban. Ezt addig folytatta így, míg nem kapta meg az összes fiú a részét, majd a megmaradó részt odaadta egyetlen lányának. Határozd meg, hány fia volt a farmernak, ha csak egy kapott közüllük több bárányt, mint a farmer lánya.

  4. Határozd meg, legfeljebb hány darab 100 mm átmérőjű labda fér bele egy téglalap alakú dobozba, melynek méretei 100 cm  x  100 cm  x  10 cm.

  5. A teherautó első kerekein a gumiabroncsok 15000 km után használódnak el; a hátsó, dupla kerekeken 20000 km után. A sofőr éppen most vett hat új gumiabroncsból álló készletet. Legfeljebb hány kilométert tehet meg velük?

  6. Az átlók 4 háromszögre osztják a 40 cm kerületű rombuszt. A háromszögek oldalainak hossza egész számok. Milyen legnagyobb kerülete lehet annak a
    a) háromszögnek,
    b) négyszögnek,
    c) ötszögnek,
    amelyet ezekből a háromszögekből rakhatunk össze? (A háromszögek nem fedhetik egymást és fel kell használnunk mind a 4 háromszöget.)

  


Matematikai Olimpia,  8. évf.,  2001/02,  II. ford. feladatai


  1. Ennek az érdekes összegző piramisnak az alsó sorába írjuk be az 1, 1, 2, 2, 3, 3 és a 4 számokat úgy, hogy legfelül a lehető legnagyobb számot kapjuk meg!

  2. A 144 cm2 területű szabályos hatszögben kijelöltük az összes átlót. A hatszög így "szétesett" egymást nem fedő háromszögekre és négyszögekre.
      a.)  Állapítsátok meg, hogy az átlók így hány részre bontották fel a hatszöget!
      b.)  Határozzátok meg annak az új szabályos hatszögnek a területét, amelyet a négyszög alakú részekből lehet összerakni, mindegyiket felhasználva!

  3. A tűznél három, egymással barátságban élő indián törzsfőnök három egyforma pipával pipázott, miközben harci tanácskozást tartottak. Az első törzsfőnök egy egész pipát 10 perc alatt szív el, a második fél óra, a harmadik pedig 1 óra alatt. A tanácskozást abban a pillanatban berekesztik, amint valamelyiküknél a pipában elfogy a pipadohány. Hogyan és mikor kell egymás között pipát cserélniük, hogy a tanácskozás a lehető leghosszabb lehessen? Mekkora ennek a lehető leghosszabb tanácskozásnak az időtartama?

  


Matematikai Olimpia,  8. évf.,  2002/03,  I. ford. feladatai


  1. Az ábrán látható táblázatba írjatok egymástól különböző természetes számokat úgy, hogy a számok szorzata minden sorban, minden oszlopban és mindkét átló mentén külön-külön 1 000 legyen, ugyanakkor a számok összege az első sorban, és az első oszlopban a lehető legnagyobb legyen!

  2. A hangya az ábrán látható anyacsavaron egy 1 cm oldalhosszúságú szabályos hatszög alakú pályán halad körbe-körbe, miközben 1 cm-t tesz meg 4 másodperc alatt. Milyen távol lesz az S kiindulási ponttól 2 és negyed perc múlva?

  3. Az ábrán egy háromoldalú hasáb látható. Hány olyan háromszög létezik, amelynek mindhárom oldala e hasábnak éle vagy lapátlója?

  4. A táborban 80 gyerek volt. Ezek a gyerekek 5 csoportot alakítottak ki. A vezető a csoportosítással nem volt elégedett, ezért az első csoportban lévő gyerekek egyötödét áthelyezte a másodikba. Ez még mindig nem volt egészen jó, ezért a második csoportban lévő gyerekek egyötödét áthelyezte a harmadik csoportba. Aztán a gyerekek egyötöde a harmadik csoportból átment a negyedikbe, majd a negyedik csoportban lévő gyerekek egyötöde átment az ötödikbe, végül az ötödik csoportból a gyerekek egyötöde csatlakozott az első csoporthoz. Így minden csoportban egyenlő lett a létszám. Hány gyerek volt az egyes csoportokban eredetileg?

  5. Vektor kisasszony a következő feladatot adta Herminának: "Olyan napon és olyan hónapban születtem, amelyekre érvényes: ha a napot jelölő szám után leírom a hónap számát, megkapom születésem napjának sorszámát az évben (pl. a január 14. dátum a 141 számot adja, de ez a nap csak az év 14-dik napja, nem a 141-dik). Ha összeszorzod a születésem napját és hónapját, megkapod, hány éves lennék 2201-ben. Állapítsd meg, mikor születtem!" Ezt a faladatot oldjátok meg ti is!

  6. Jutka szívesen küld mobiltelefonon SMS üzenetet. Naponta hármat elküld. Egy üzenet 2,50 koronába kerül. Több üzenet elküldése esetén az alábbi kedvezmények közül pontosan egyet választhat:
          10 SMS elküldése után 1 SMS-t küldhet ingyen,
        100 SMS elküldése után 10 SMS-t küldhet ingyen,
      1000 SMS elküldése után 100 SMS-t küldhet ingyen. 
    Legalább mennyit fizet az elküldött SMS-ekért egy év alatt - az első elküldött SMS-től kezdve?