Ezek a feladatok a www.matek.ide.sk
weboldalról voltak letöltve, ahol még további érdekes versenyfeladatok és ingyen letölthető matematikai oktatóprogramok találhatók. |
Találjátok meg az összes ötjegyű 84-gyel osztható számot, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: az első három számjegy olyan számot alkot, amely háromszor nagyobb, mint a maradék két számjegyből álló szám. A számjegyek sorrendje azonos az ötjegyű szám számjegyeinek sorrendjével.
Mely p törzsszámra érvényes, hogy a 2p+1 valamely természetes szám harmadik hatványa?
A villamosvonal végállomásai közti menetidő 45 perc. A villamosok mindkét végállomáson 5 percet várnak. A villamosvonalon 5 szerelvény hozzáadásával a villamosok közti időköz egy perccel csökkent. Hány szerelvény és milyen időközökben közlekedik most a vonalon? (A percekben számolt időköz hossza természetes szám.)
Adott az ABC egyenlő szárú
háromszög, |AC| = |BC|. A CB oldal B pont mögötti meghosszabításán válasszátok
meg a D pontot úgy, hogy |BD| = |AB|. A BAC és BAD szögek tengelyeinek
metszéspontjait a CD szakasszal jelöljétek E-vel és F-fel. Mekkora az EAF
szög, ha CAB=
a ?
Adott a KLMN 6 cm oldalú négyzet.
Szerkesszétek meg azt az ABC háromszöget, amely rendelkezik a következő négy
tulajdonsággal:
(1) az A csúcs a KL egyenesen
fekszik,
(2) a C csúcs a KN egyenesen fekszik,
(3) az M pont távolsága az A és C pontoktól 7 cm,
(4)
|AB| : |BC| : |CA| = 1,5 : 2 : 1.
Hány megoldása van a feladatnak?
Adott az ABV egyenlő oldalú háromszög, |AB| = 8 cm. Szerkesszétek meg azt az ABCD téglalapot, amelynek CD oldala áthalad az AV szakasz K középpontján. Továbbá szerkesszétek meg a CD határegyenesű és A belső pontú félsíkban a CDU egyenlő oldalú háromszöget. Számítsátok ki az ABCD téglalap azon részeinek teljes területét, amelyek az ABV és CDU háromszögön kívül esnek.
A királyi hajó 100 ládában igazgyöngyöt szállított, mindegyikben ugyanannyit. Az első kikötőben a kalózok az 1. ládából kivettek bizonyos számú igazgyöngyöt. Senki semmit sem vett észre, ezért a második kikötőben a 2. ládából kétszer annyi igazgyöngyöt vettek ki, mint az elsőből. Most sem vett észre senki semmit. A harmadik kikötőben a 3. ládából már háromszor annyi igazgyöngyöt vettek ki, mint az elsőből. És ez így folytatódott. Miután a kalózok a századik ládából is kivették a megfelelő számú igazgyöngyöt, abban csupán egyetlen igazgyöngy maradt. Mire a hajó célba ért, már csak 24850 igazgyöngyöt szállított. Itt végül minden kiderült, a kalózokat elfogták. Ám a büntetés nagyságának megállapításához és a kár visszatérítéséhez szükséges volt tudni, hogy eredetileg hány igazgyöngy volt a ládákban. Mennyi?
Adott egy ABCD négyzet és egy P pont úgy, hogy a D az AP szakasz felezőpontja. A P ponton haladjon át egy p egyenes. Hogyan kell megválasztani a p egyenes helyzetét, hogy az a négyzet területét 5:3 arányban ossza? Rajzold meg a p egyenest!
Gondoltam egy számot. Számjegyeinek minden lehetséges módon való felcserélésével további 5 számot tudok képezni. Ha az utóbbi 5 számot hozzáadom az eredeti számhoz, akkor 4218-at kapok. Barátnőm, Mónika, az eredeti számnál 5-tel nagyobb számra gondolt. Ha ehhez ő hozzáadja a számjegyek felcserélésével kapott újabb öt számot, akkor 5328-at kap. Milyen számra gondoltam én, és milyenre Mónika?
Adottak az ábra szerinti J, K, L,
M, N pontok. Szerkessz AB alapú egyenlő szárú ABC háromszöget, ha a J, K, L,
M, N pontok rendre az AC, vc, va, vb,
tc egyeneseken fekszenek. (Megj.: A va, vb,
vc magasságot, a tc súlyvonalat jelöl.)
Határozd meg azokat a 7-tel
osztható négyjegyű számokat, melyekre igaz:
ˇ első két számjegyük összege 10,
ˇ két középső számjegyük összege 10,
ˇ utolsó két számjegyük összege 9.
Egy 17 oldalú gúla minden lapjára egy-egy számot írtunk. Az összes számot összeadva 96-ot kapunk. A csúcsokhoz a hozzá tartozó lapokon szereplő számok összegét írtuk, és megállapítottuk, hogy mindegyik csúcshoz ugyanazt a számot kellett írni. Mely számokat írtuk az egyes lapokra?
Két kétjegyű szám szorzata 2176. Ha mindkét számban felcseréljük a számjegyek sorrendjét a szorzat 1978. Milyen számokat szoroztunk?
Az ABC háromszögben az AC oldal hosszabb, mint a BC oldal. A CS súlyvonal és a CP magasságvonal az ACB szöget három egybevágó szögre osztják. Az SZ szakasz az ASC háromszög magasságvonala. Számítsátok ki az ABC háromszög területét, ha tudjátok, hogy az ASZ háromszög területe 9 négyzetcentiméter. (a S, P, Z pontok az ABC háromszög oldalain fekszenek.)
A mozgólépcsőn 12 másodpercig tart az út fel. Misi a szomszéd nem mozgó lépcsőkön 6 másodperc alatt szalad fel. Hány másodperc alatt érne fel Misi, ha ugyanolyan gyorsan futna a mozgólépcsőn?
Béla az ábrán látható additív
háromszög első sorába 5 olyan különböző törzsszámot írt, amelyek összege 50.
Milyen legnagyobb szám kerülhetett a "legalsó" téglalapba?
Az A, B, C és D pontok három külömböző, 9, 10 és 13 cm2 területű négyszöget határoznak meg. Mekkora a négyszögek úniójának területe? Szerkesszetek egy ilyen pontnégyest.
Egy matematika iránt érdeklődő bolha a tankönyvben bolyongva egy számegyenesre talált. Eleinte csak sétálgatott rajta, később azonban ugrálni kezdett. De nem akárhogyan: az átugrott szám mindig ugrásának középpontjában állt. Leelőször a -78-at ugrotta át, majd az érkezés helyéből a -29-et ugrotta át, s innen elrugaszkodva a 36-ot ugrotta át. Nagy meglepetéssel tapasztalta, hogy most éppen abba a számba érkezett, ahonnan a legelején kiindult. Melyik volt ez a szám?
Az egyik könyvben Marcsi érdekes számsorozatra bukkant. Észrevette, hogy a sorozat három egymást követő tagjának összege mindig 20 vagy 22. Ezek az összegek szabályosan váltakozva követték egymást: 20, 20, 22, 22, 20, 20, 22, ... A sorozat első tagja 9, a kilencedik tagja pedig 7. Mennyi a sorozat első 100 tagjának összege?
Egy bolha 1 cm oldalhosszúságú négyzetháló csúcsaiban ugrál. Úgy döntött, hogy csak rácspontból rácspontba ugrik. Mivel szerencseszáma a 13, ezért csak olyan rácspontba ugrik, amely tőle 13 cm-re van. Eljuthat-e így a négyzetháló tetszőleges rácspontjába?
Tibornak két egynél nagyobb tizedesstörtet kellett összeadnia. Ám ő az egyik tizedesvesszőt sem vette észre, ezért egész számokként adta össze őket. Így 649-et kapott eredményül. A helyes eredménynek azonban 32,1*-nak kellett volna lennie, a századok helyén levő számjegyet elfelejtettük. Mely tizedestörteket kellett Tibornak összeadnia?
Az ábrán látható piramis
természetes számokkal megszámozott kockákból áll. Az alsó szinten semelyik két
kockának nincs ugyanolyan számja. A többi szinten levő kockák száma egyenlő az
alatta levő 4 kocka számjainak összegével. Határozzátok meg, milyen legkisebb
számja lehet a legfelső kockának, ha tudjátok, hogy a középső szinten levő
kockák mindegyikének ugyanaz a számja van.
Van 4 egybevágó háromszögünk. Ezekből ki tudunk rakni (átfedés nélkül) nem csak olyan téglalapot, melynek kerülete 22 cm, vagy olyan téglapot amelynek kerülete 29 cm, hanem rombuszt is. Mennyi lesz a kerülete ennek a rombusznak? (Mindegyik kirakásnál fel kell használnunk mind a 4 háromszöget.)
A magánvállalkozó elbocsájtotta az alkalmazottjainak egy negyedét. Az ő munkájukat szétosztotta azok között, akik alkalmazásban maradtak, és ezek minegyikének megemelte a fizetését 25%-kal. Még így is megspórolt a béreken 13000 Sk-t. Határozzátok meg, hány alkalmazottat hagyott meg a cégnél, ha tudjátok, hogy mindegyik alkalmazott ugyanannyit keres (ugyanannyit keresett), és ez nem kevesebb mint 6000 és nem több mint 10000 korona.
Misi gondolt egy háromjegyű számra. Gyurinak elárulta, hogy a gondolt szám számjegyeinek összege 8. Péternek csak a gondolt szám számjegyeinek szorzatát árulta el. Péter ebből helyesen meghatározta, hogy ilyen számból összesen 6 darab van és ezt elmondta Gyurinak. Ő kijelentette: "Már tudom, hogy milyen számjegyei vannak a számnak, de a szám meghatározásához ez még nem elég." Ezek után Misi mindkét fiúnak ezt mondta: "A második hatványa az utolsó számjegynek nem osztója a gondolt számnak." Ez már a fiúknak elég volt a szám meghatározásához. Milyen számra gondolt Misi?
Pontban 2000.12.31.-ről
2001.1.1.-re eső éjfélkor akartak "Úszóváros"-ban ünnepélyesen megnyitni egy
új, 160 cm mély téglatest alakú medencét. A vizet elkezdték engedni bele
már 2000.12.30.-án. Az ábrán látható grafikon mutatja, hogyan növekedett a
medencében a víz szintje az időtől függően.
a) Sikerült nekik időben
teleengedni a medencét egészen a felső széléig?
b) Pontosan mikor
kezdték el engedni a vizet a medencébe?
Az öreg farmer úgy döntött, hogy az összes vagyonát - egy csorda bárányt - szétosztja a gyerekei között. Először a csordát két részre osztotta 1:3 arányban. A kisebb részt odaadta elsőszülött fiának, a nagyobb részt ismét szétosztotta 1:3 arányban. Az új részekből a kisebbet odaadta másodszülött fiának, a nagyobb részt ismét szétosztotta 1:3 arányban. Ezt addig folytatta így, míg nem kapta meg az összes fiú a részét, majd a megmaradó részt odaadta egyetlen lányának. Határozd meg, hány fia volt a farmernak, ha csak egy kapott közüllük több bárányt, mint a farmer lánya.
Határozd meg, legfeljebb hány darab 100 mm átmérőjű labda fér bele egy téglalap alakú dobozba, melynek méretei 100 cm x 100 cm x 10 cm.
A teherautó első kerekein a gumiabroncsok 15000 km után használódnak el; a hátsó, dupla kerekeken 20000 km után. A sofőr éppen most vett hat új gumiabroncsból álló készletet. Legfeljebb hány kilométert tehet meg velük?
Az átlók 4 háromszögre osztják a
40 cm kerületű rombuszt. A háromszögek oldalainak hossza egész számok.
Milyen legnagyobb kerülete lehet annak a
a) háromszögnek,
b)
négyszögnek,
c) ötszögnek,
amelyet ezekből a háromszögekből
rakhatunk össze? (A háromszögek nem fedhetik egymást és fel kell használnunk
mind a 4 háromszöget.)
Ennek az érdekes összegző
piramisnak az alsó sorába írjuk be az 1, 1, 2, 2, 3, 3 és a 4 számokat úgy,
hogy legfelül a lehető legnagyobb számot kapjuk meg!
A 144 cm2 területű
szabályos hatszögben kijelöltük az összes átlót. A hatszög így "szétesett"
egymást nem fedő háromszögekre és négyszögekre.
a.)
Állapítsátok meg, hogy az átlók így hány részre bontották fel a
hatszöget!
b.) Határozzátok meg annak az új szabályos
hatszögnek a területét, amelyet a négyszög alakú részekből lehet összerakni,
mindegyiket felhasználva!
A tűznél három, egymással barátságban élő indián törzsfőnök három egyforma pipával pipázott, miközben harci tanácskozást tartottak. Az első törzsfőnök egy egész pipát 10 perc alatt szív el, a második fél óra, a harmadik pedig 1 óra alatt. A tanácskozást abban a pillanatban berekesztik, amint valamelyiküknél a pipában elfogy a pipadohány. Hogyan és mikor kell egymás között pipát cserélniük, hogy a tanácskozás a lehető leghosszabb lehessen? Mekkora ennek a lehető leghosszabb tanácskozásnak az időtartama?
Az ábrán látható táblázatba
írjatok egymástól különböző természetes számokat úgy, hogy a számok szorzata
minden sorban, minden oszlopban és mindkét átló mentén külön-külön 1 000
legyen, ugyanakkor a számok összege az első sorban, és az első oszlopban a
lehető legnagyobb legyen!
A hangya az ábrán látható
anyacsavaron egy 1 cm oldalhosszúságú szabályos hatszög alakú pályán halad
körbe-körbe, miközben 1 cm-t tesz meg 4 másodperc alatt. Milyen távol lesz az
S kiindulási ponttól 2 és negyed perc múlva?
Az ábrán egy háromoldalú hasáb
látható. Hány olyan háromszög létezik, amelynek mindhárom oldala e hasábnak
éle vagy lapátlója?
A táborban 80 gyerek volt. Ezek a gyerekek 5 csoportot alakítottak ki. A vezető a csoportosítással nem volt elégedett, ezért az első csoportban lévő gyerekek egyötödét áthelyezte a másodikba. Ez még mindig nem volt egészen jó, ezért a második csoportban lévő gyerekek egyötödét áthelyezte a harmadik csoportba. Aztán a gyerekek egyötöde a harmadik csoportból átment a negyedikbe, majd a negyedik csoportban lévő gyerekek egyötöde átment az ötödikbe, végül az ötödik csoportból a gyerekek egyötöde csatlakozott az első csoporthoz. Így minden csoportban egyenlő lett a létszám. Hány gyerek volt az egyes csoportokban eredetileg?
Vektor kisasszony a következő feladatot adta Herminának: "Olyan napon és olyan hónapban születtem, amelyekre érvényes: ha a napot jelölő szám után leírom a hónap számát, megkapom születésem napjának sorszámát az évben (pl. a január 14. dátum a 141 számot adja, de ez a nap csak az év 14-dik napja, nem a 141-dik). Ha összeszorzod a születésem napját és hónapját, megkapod, hány éves lennék 2201-ben. Állapítsd meg, mikor születtem!" Ezt a faladatot oldjátok meg ti is!
Jutka szívesen küld
mobiltelefonon SMS üzenetet. Naponta hármat elküld. Egy üzenet 2,50 koronába
kerül. Több üzenet elküldése esetén az alábbi kedvezmények közül pontosan
egyet választhat:
10 SMS elküldése után 1
SMS-t küldhet ingyen,
100 SMS elküldése után 10 SMS-t
küldhet ingyen,
1000 SMS elküldése után 100 SMS-t küldhet
ingyen.
Legalább mennyit fizet az elküldött SMS-ekért egy év alatt -
az első elküldött SMS-től kezdve?