Ezek a feladatok a www.matek.ide.sk
weboldalról voltak letöltve, ahol még további érdekes versenyfeladatok és ingyen letölthető matematikai oktatóprogramok találhatók. |
Adottak az ábra szerinti J, K, L,
M, N pontok. Szerkessz AB átfogójú, derékszögű ABC háromszöget, ha a J, K, L,
M, N pontok rendre az AB, BC, CA, va, vc egyeneseken
fekszenek, ahol va, vc a megfelelő magasságokat
jelölik.
Határozd meg az abcd
négyjegyű számot (a, b, c, d számjegyek), melyre igaz:
ab
: bc = 1 : 3
bc : cd = 2 :
1
miközben ab, bc, cd kétjegyű számokat jelölnek.
Az AX, BY félegyenesek az ABC háromszög CAB és ABC szögeit 1:2 arányban osztják, és az ABC háromszög köréírt körének középpontjában metszik egymást. Határozd meg a háromszög szögeit!
Nevesincs országban nincsenek pénzérmék. De azért van automata gépük, amely az érméket papírpénzre váltja. Első lépésként az automata a bedobott összeget tízesekre kerekíti. Az így kapott értéket százasokra kerekíti, majd azt még ezresekre. Ezután a kapott összeget papírpénzben adja ki. Jancsi méregbe gurult, mert az automata alaposan megtréfálta. Ő a gépbe szórta egész vagyonát, az viszont csak körülbelül a 69%-át (egész értékre kerekítve) adta vissza annak, amit beledobott. Hány Nevesincs koronát dobott a gépbe Jancsi?
Az ABCDE hatlap az ABCD és ABCE tetraéderek összeragasztásával keletkezett. A hatlap minden lapjára egy számot írtunk. A csúcsokhoz a hozzá tartozó lapokon szereplő számok összegét írtuk. Határozd meg a lapok összes lehetséges megszámozását úgy, hogy a csúcsokhoz írt számok egyformák legyenek. Azt tudjuk, hogy két szomszédos lapon a 4-es és a 9-es szám található. A szomszédos lapoknak közös az élük.
Egy négyzet csúcsaiba az 1, 2, 3,
4 számokat írtuk. Palkó mindig a négyzet három szomszédos csúcsában
változtathatja meg a számokat, a következőképpen: vagy mind a hármat 1-gyel
megnöveli, vagy mind a hármat l-gyel csökkenti (ábra). Elérheti-e ezzel a
módszerrel azt, hogy a négyzet minden csúcsában 4-es legyen?
Az alábbi ábrán
szemléltetett esetek közül melyeket tudja Palkó a fent leírt módszerrel
megvalósítani? (Miért?)
Vegyünk egy különböző számjegyekből álló négyjegyű számot. Minden számjegyét helyettesítsük a fennmaradó számjegyek számtani közepével. Melyik lesz az így keletkező legkisebb, ill. legnagyobb szám?
A konvex négyszög átlója felezi a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakaszt. Bizonyítsátok be, hogy az átló a négyszög területét is felezi.
Oldjátok meg a következő
egyenletrendszert:
x + y10 =
98,7
x10 - y = 23,4
ahol
y10 a tízesekre kerekített y szám és x10 a tízesekre
kerekített x szám.
Három jóbarát egy kör alakú tóban fürdött. Mindhárman ugyanarról a helyről és egy időben ugrottak a vízbe. Juli egyenesen délnek úszott, Vera keletnek és Sztano egyenesen a tó középpontján át. Mindenki ugyanabban az időpillanatban ért partot, és megállapították, hogy ha Veránál találkoznának, akkor a part mentén együttesen negyedrészével hosszabb utat tennének meg, mint ha a Julinál találkoznának. A jóbarátok közül ki úszott a leglassabban? Találkozásukat illetően melyik a legkedvezőbb hely (vagyis mikor gyalogolnak a legkevesebbet)? Rajzold meg mindegyik gyerek útvonalát.
Az ábra üresen hagyott
háromszögeibe írjatok egész számokat úgy, hogy minden három háromszög által
alkotott trapézban valamely két szám összege a harmadik számmal legyen
egyenlő.
Mónika az ábrán látható
számegyenesen választott egy számot. Azután kijelölt rajta még további két
számot úgy, hogy az egyik ötszöröse a választott számnak, a másik 5-tel
nagyobb a választott számnál. Így az A, B és C pontokat kapta, melyek
kölcsönös távolságaira érvényes:
|AB| = 8 cm és |BC| = 6 cm. A
számegyenes mely számát választotta Mónika?
Az iskolai étteremben ma párolt gombóc volt ebédre. Minden tanári adag "hatgombócos", gyerek adad "négygombócos" volt. Minden tanár megette az egész saját adagját. Minden lány csak 3 gombócot evett, a megmaradt gombócokat odaadták a fiúknak. Így minden fiú evett legalább 5 gombócot, tizenhárom fiú evett 6 gombócot. Összesen 1386 gombócot ettek meg az étteremben, aminek pontosan az egy tizeneggyedét a tanárok ették meg. Határozzátok meg, mennyi lány, mennyi fiú és mennyi tanár ebédelt ma az iskolai étteremben!
Adott egy egyenlőoldalú ABC
háromszög. A háromszög magasságvonalánal a talppontját az AB oldalra
megjelöljük M-mel. A CAB szög tengelye a BC oldalt egy K pontban metszi. Az AK
és CM egyenesek metszéspontját megjelöljük S-sel. A P pont az AS szakasz
felezőpontja és a Q pont a BS szakasz felezőpontja.
a)
Bizonyítsátok be, hogy a PMQK négyszög egy egyenlő szárú trapéz.
b) Számítsátok ki a PMQK trapéz oldalainak hosszát, ha tudjátok,
hogy az ABC háromszög területe cm2.
Egy téglatestet, melynek méretei egész számok, szétvágtunk maradék nélkül két háromoldalú hasábra. Ezen hasábok oldalainak területe 30 cm2, 35 cm2, 84 cm2, 91 cm2. Határozzátok meg a téglatest méreteit!
Találjatok olyan n természetes
számot, amelyre igaz a következő állítások mindegyike:
· Az tört felírható vegyes számként mint
.
· Az tört felírható
vegyes számként mint
.
· a + c =
105
· b + d = 34
Az ábrán egy "majdnemmágikus"
zsebkendő látható. A zsebkendő fehér-fekete színű, ahol a fekete részek
négyzetek, a fehér részek téglalapok. Ha a fehér és fekete részeknek egyenlő
lenne a területe, akkor a zsebkendő mágikus lenne.
Milyen méretei vannak annak
a mágikus zsebkendőnek, amelyre igaz, hogy
a) középső
négyzetének területe 324 cm2?
b) sarkainál
levő négyzetek területe 16 cm2?
Az ábrán látható piramis
természetes számokkal megszámozott kockákból áll. Az alsó szinten semelyik két
kockának nincs ugyanolyan számja. A többi szinten levő kockák száma egyenlő az
alatta levő 4 kocka számjainak összegével. Határozzátok meg, hogy milyen
számjai vannak a kockáknak az alsó és felső szinten, ha tudjátok, hogy a
középső szinten levő kockák úgy vannak megszámozva, ahogy az alábbi ábra
mutatja.
A tetraéder két élének hossza 2 cm és 6 cm. Határozzátok meg a tetraéder többi élének hosszát, ha tudjátok, hogy a tetraéder mindegyik lapjának kerülete egyenlő és a tetraéder hálózatának lehető legkisebb kerülete 18 cm.
Határozzátok meg, az a lehető
legtöbb százalékot, amennyivel megváltozhat (az eredeti értékére nézve) a
következő egyenlet gyöke:
a . x = b (aą0), ahol x ismeretlen,
ha az egyenlet egyik
együtthatóját sem változtatjuk meg több mint 20%-ával az eredeti értéknek.
Az olyan négyszöget, melynek semelyik két oldala sem egyenlő hosszú, nemegyformaoldalú-nak fogjuk nevezni. A szabályos 12-szög területe 81 cm2. Szerkesszétek meg az összes olyan alakilag különböző nemegyformaoldalú négyszögeket, melyek csúcsai a 12-szög csúcsaiban vannak. Határozzátok meg mindegyik négyszög területét.
A jégkorongbajnokságon a Zöldek
3-szor nyertek és így az 1. helyen helyezkedtek el 7:1 összpontszámmal. A
Pirosak összesen 2:3 pontot értek el, a Kékek összesen 3:3-at. Az utolsó
helyen a Barnák helyezkedtek el, ők mindhárom mérkőzésüket elvesztették és az
összpontszámuk 1:6 volt. Töltsd ki az ábrán látható mérközések táblázatát, ha
tudod, hogy a Zöldek megverték a Pirosakat 3:0 pontszámmal és tudod, hogy a
Pirosak is és a Kékek is pontosan egyszer nyertek, egyszer vesztettek és
egyszer játszottak döntetlenre.
A 27 cm2 területű tengelyesen szimmetrikus ötszögnek pontosan három belső szöge derékszög és pontosan 3 oldala egybevágó.Határozd meg az ötszög másik két belső szögének nagyságát és a három egybevágó oldala közül valamelyiknek a hosszát.
Az én mamám 1948.3.16.-án született. Ez szép dátum, mert igaz rá hogy 48 = 3 . 16 . A 20. század melyik éveiben volt a legtöbb ilyen szép dátum?
Az a élű kocka mindegyik lapjára ragasztottunk egy olyan szabályos négyoldalú gúlát, hogy egy 12 lappal rendelkező test keletkezett. Hány csúcsa van ennek a testnek? Hány %-kal nagyobb ennek a testnek a térfogata az eredeti kocka térfogatánál?
Az Óriások szigetének ugyanannyi a lakossága mint a Törpék szigetének. Az egyik szigeten sem él két ugyanolyan súlyú lény. Két óriás és két törpe kivételével mindenkinek a saját szigetén két barátja van, melyek közül az egyik 2 kg-mal nehezebb, a másik 2 kg-mal könnyebb nála. A két legnehezebb törpe súlya együtt ugyanannyi, mint a legkönnyebb óriás súlya. A három "középső" törpe súlya együtt ugyanannyi, mint a középső óriás súlya. A négy legkönnyebb törpe súlya együtt ugyanannyi, mint a nyolcadik legnehezebb óriás súlya. Határozd meg, mennyi a lakossága a Törpék szigetének és hány kg-mal nehezebb a legnehezebb óriás a legkönnyebb törpénél.
Írjatok a 6 8 3 ««« számban a csillagok helyére megfelelő számjegyeket úgy, hogy ez a hatjegyű szám osztható legyen 7-tel, 8-cal és 9-cel!
Számítsátok ki az ábrán látható,
szürkével kijelölt rész területét, ha tudjuk, hogy a KL és MN szakaszok a
k(S;6cm) kör egymásra merőleges átmérői, az A, B, C és D pontok pedig rendre a
KS, MS, LS és NS szakaszok középpontjai!
Az a) ábrán látható táblázatba
úgy írták be a számokat, hogy a táblázat valamennyi, három négyzetből álló, b)
ábra szerinti alakzatainak bármelyikében a beírt három szám összege egyenlő. A
három négyzetből álló alakzat nem fordítható el! Számítsátok ki a táblázatba
beírt összes szám összegét!
Az l(A;r1) és m(B;r2) körök középpontjai a k(S;r) kör átmérőjén helyezkednek el. Az l és m körök kívülről érintik egymást és mindkettő érinti a k kört is. Rajtuk kívül a k körben fekszik az kör is, amely mindhárom kört (tehát az l, m és k köröket) érinti. Sárika azt gondolja, hogy az ACS háromszög kerülete nagyobb, mint a k kör átmérője. Igaza van? Miért?
Egy iskolában a diákok átlagéletkora 10 év, a pedagógusoké 54 év, az összes diák és pedagógus átlagéletkora együtt 12 év. Állapítsátok meg, hogy ebben az iskolában átlagosan hány gyerek van egy osztályban, ha tudjuk, hogy a pedagógusok átlagosan 21 órát tanítanak hetente, és a diákoknak hetente átlagosan 24 órájuk van!
Misi általában gyalog jár haza az iskolából. Ha kerékpárral megy haza, átlagsebessége 10 km/ó-val növekszik, és 15 perccel hamarabb ér haza. Ha édesapja autóval viszi haza, a gyalogláshoz viszonyítva átlagsebessége a hatszorosára nő, és 20 perccel hamarabb ér haza. Milyen messze lakik Misi az iskolától? (Gyalog, kerékpárral, autóval is mindig ugyanazon az útvonalon halad.)